第49章 六分钟搞定两道解答题，监考老师感觉几十年数学白学了！

  ……

  【第一题（45分）】

  【设n为正整数，a?,a?,…,a_n为实数，满足∑_{i=1}^n a_i = 0且∑_{i=1}^n a_i2 = 1。证明：对任意实数x，有∑_{i=1}^n (a_i - x)2 ≥ n/(n-1)。】

  江辰看完题干，脑子里瞬间跳出三种解法。

  解法一：直接用柯西不等式+均值不等式，三步搞定。

  解法二：转化成二次函数最值问题，用判別式。

  解法三：用拉格朗日乘数法（虽然超纲，但简洁）。

  他选了第一种，提笔就写。

  “由条件∑a_i=0，∑a_i2=1，则∑(a_i-x)2=∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2。”

  “需证1+nx2 ≥ n/(n-1)，即nx2 ≥ 1/(n-1)。”

  “由柯西不等式：(∑a_i2)(∑12) ≥ (∑a_i)2，即n≥0，恆成立。但需另寻不等式……”

  “考虑∑(a_i - ā)2 = ∑a_i2 - nā2 = 1，其中ā=0，故∑a_i2=1已给出。”

  “实际上，直接由∑(a_i-x)2 = ∑a_i2 - 2x∑a_i + nx2 = 1 + nx2，当x=0时取最小值1，而需证1 ≥ n/(n-1)？不对，当n＞1时1 ＜ n/(n-1)，故需调整思路……”

  江辰停笔，重新看题。

  哦，看错了。