第77章 拔尖计划

  这天晚上，301宿舍。

  薛超正对著一道《数学分析》的习题，抓耳挠腮，愁眉不展。

  “我裂开了啊！这道题到底怎么证啊？用柯西收敛准则？还是用闭区间套定理？感觉都不对啊！”他哀嚎著，將求助的目光，投向了宿舍的“学术明灯”。

  “徐神！徐神！快来救救孩子吧！”

  徐辰正戴著耳机，聚精会神地看著电脑屏幕。屏幕上，是普林斯顿大学的公开课——《代数拓扑入门》。

  听到呼唤，他摘下耳机，走了过去。

  他看了一眼题目。

  【求证：若函数f(x)在[a， b]上连续，则其一致连续。】

  “哦，海涅定理。”徐辰的语气，平淡得像是在说“今天天气不错”。

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  “用反证法就行了。”他拿起笔，在薛超的草稿纸上，隨手写了几个关键步骤。

  “假设f(x)不一致连续，那么根据定义，就存在一个e?＞ 0，对任意的δ＞ 0，都存在x， y∈[a， b]，虽然|x-y|＜δ，但|f(x)-f(y)|≥e?。”

  “然后，你取一串δ?= 1/n，它趋近於0。根据上面的假设，你就能找到两个点列{x?}和{y?}，满足|x?-y?|＜ 1/n，但|f(x?)-f(y?)|≥e?。”

  “因为[a， b]是有界闭集，所以根据波尔查诺-魏尔斯特拉斯定理，点列{x?}必然存在一个收敛的子列{x??}，它的极限是x?，並且x?也在[a， b]里。”

  “因为|x??-y??|＜ 1/n?，所以子列{y??}的极限也是x?。”