第21章 班长喜欢你欸

  楚若然扫了一眼黑板，拿出草稿纸提笔开始计算。

  第一问，他藉助恆等式展开，很快就得出结果。

  设 y=q=1y = q = 1y=q=1，展开得：f(x，2)=(x + y)(x + qy)=(x + 1)^2 = x2+ 2x + 1

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  代入定义，有：d_q^1f(x，2)=[2](x + y)= 2(x + 1)

  第二问，他用归纳法简单推理，几步运算便顺利完成。

  当 k = 0时：d_q^0f(0，n)= f(0，n)= q^(n(n?1)/2)* y^n

  当 k≠ 0时：d_q^kf(0，n)=[n][n?1]...[n?k+1]*(0 + y)^(n?k)=[n][n?1]...[n?k+1]* y^(n?k)* q^[(n?k)(n?k?1)/2]

  然后除以[n?k]!得出：([n?k]/[n])* d_q^kf(0，n)= q^[(n?k)(n?k?1)/2]* y^(n?k)

  短短两分钟，两个小问便计算完成。他放下笔，看向第三问，自语一句：“高斯q-二项式推广……”

  他的目光定在题目最后一行的恆等式：f(x， n)=∑(k = 0到 n) d_q^k f(0， n)/[k]!* x^k

  这一行普通的 q-泰勒展开形式，让楚若然想起前阵子余南汐给他讲过的一节高等数学內容——广义冪级数展开和生成函数思想。

  “或许……可以换个角度。”他喃喃自语。

  楚若然提起笔，在草稿纸右上角工整地写下：g(y)=(x + y)(x + qy)(x + q2y)…(x + q??1y)=∑ a_k x^{n?k} y^k

  “g(y)是一个关於x的n次多项式。”他心中一边推演，一边迅速展开思路，“如果我把这个东西当作一个生成函数对待，也就是说……”